Ein Bruch ist eine Zahl die einen Teil eines Ganzen beschreibt. Stell dir eine Pizza vor: Wenn du sie in 4 Stücke schneidest und 3 davon isst, hast du $\dfrac{3}{4}$ gegessen.
Die Teile eines Bruchs
↑ ZÄHLER
Wie viele Stücke du hast
↓ NENNER
In wie viele Stücke geteilt
Arten von Brüchen
| Art | Bedeutung | Beispiel |
|---|
| Echter Bruch | Zähler KLEINER als Nenner | $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$ |
| Unechter Bruch | Zähler GRÖSSER oder GLEICH Nenner | $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{9}{2}$ |
| Gemischte Zahl | Ganze Zahl + Bruch | $1\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$, $3\frac{1}{3}$ |
| Stammbruch | Zähler ist immer 1 | $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{7}$ |
✏️ Beispiel: Gemischte Zahl → Unechter Bruch
Wandle $2\frac{3}{4}$ in einen unechten Bruch um:
Schritt 1Ganze Zahl × Nenner: $2 \times 4 = 8$
Schritt 2Plus Zähler: $8 + 3 = 11$
Ergebnis$2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$ ✓
Merke: Brüche sind nichts anderes als eine DIVISION. $\frac{3}{4}$ bedeutet $3 \div 4$. Das war's!
Erweitern = Zähler UND Nenner mit der GLEICHEN Zahl MAL nehmen.
Kürzen = Zähler UND Nenner durch die GLEICHE Zahl TEILEN.
Der Wert des Bruchs ändert sich dabei NICHT!
↑ Erweitern
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$
Zähler und Nenner werden GRÖSSER, aber der Wert bleibt gleich.
Wann? Wenn du Brüche auf den gleichen Nenner bringen musst.
↔
↓ Kürzen
$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
Zähler und Nenner werden KLEINER, aber der Wert bleibt gleich.
Wann? Am Ende einer Rechnung, um zu vereinfachen.
✏️ Beispiel: Erweitern auf gleichen Nenner
Bringe $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$ auf den gleichen Nenner:
Schritt 1Gemeinsamer Nenner: $\text{kgV}(3, 4) = 12$
Schritt 2$\frac{1}{3}$ erweitern mit 4: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
Schritt 3$\frac{1}{4}$ erweitern mit 3: $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
Ergebnis$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ und $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ ✓
ACHTUNG: Du darfst Brüche NUR addieren/subtrahieren wenn sie den GLEICHEN NENNER haben! Wenn nicht: zuerst erweitern!
Gleicher Nenner?
→
Nein: Erweitern!
→
Zähler rechnen, Nenner behalten
→
Kürzen!
✏️ Beispiel 1: Gleicher Nenner (einfach)
Aufgabe$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \;?$
RechnungZähler addieren: $2 + 3 = 5$, Nenner bleibt $7$
Ergebnis$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$ ✓
✏️ Beispiel 2: Verschiedene Nenner (schwerer)
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \;?$
Schritt 1Gleichen Nenner finden: $\text{kgV}(3, 4) = 12$
Schritt 2$\frac{1}{3}$ erweitern mit $4$: $\frac{4}{12}$
Schritt 3$\frac{1}{4}$ erweitern mit $3$: $\frac{3}{12}$
Schritt 4Zähler addieren: $4 + 3 = 7$
Ergebnis$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ ✓
🍕
Eselsbrücke
Gleicher Nenner = Gleiche Pizzagröße!
Du kannst nur Stücke von gleich großen Pizzen zusammenzählen. 2 Stücke einer 8er-Pizza + 3 Stücke einer 8er-Pizza = 5 Stücke. Aber 2 Stücke einer 6er + 3 Stücke einer 8er? Geht nicht direkt — erst umrechnen!
Gute Nachricht: Multiplizieren ist die EINFACHSTE Rechenart bei Brüchen! Kein gleicher Nenner nötig. Einfach Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
✏️ Beispiel: Multiplikation
Aufgabe$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \;?$
Zähler$2 \times 4 = 8$
Nenner$3 \times 5 = 15$
Ergebnis$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ ✓
🔄
Eselsbrücke: Division
Aus ÷ wird ×, der zweite Bruch dreht sich um!
Wie ein Kopfstand: Der Zähler wird zum Nenner, der Nenner wird zum Zähler. Dann ganz normal multiplizieren.
✏️ Beispiel: Division
Aufgabe$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \;?$
Schritt 1Kehrwert: $\frac{2}{5}$ wird zu $\frac{5}{2}$
Schritt 2Jetzt multiplizieren: $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2}$
Zähler$3 \times 5 = 15$
Nenner$4 \times 2 = 8$
Ergebnis$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ ✓
❌ FALSCH: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$
Warum falsch? Man darf die Nenner NICHT einfach addieren!
✅ RICHTIG: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
❌ FALSCH: $\frac{3}{4}$ kürzen mit 2 → $\frac{1}{2}$
Warum falsch? 3 ist nicht durch 2 teilbar! Kürzen geht nur wenn Zähler UND Nenner durch die gleiche Zahl teilbar sind.
✅ RICHTIG: $\frac{3}{4}$ kann man NICHT kürzen (3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1)
❌ FALSCH: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ → erst gleicher Nenner, dann rechnen
Warum falsch? Bei Multiplikation braucht man KEINEN gleichen Nenner!
✅ RICHTIG: Einfach Zähler × Zähler, Nenner × Nenner = $\frac{8}{15}$
❌ FALSCH: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$
Warum falsch? Bei Division muss der ZWEITE Bruch umgedreht werden (Kehrwert)!
✅ RICHTIG: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$
Checkliste vor dem Abgeben ✅
| ☐ | Habe ich bei Addition/Subtraktion den gleichen Nenner? |
| ☐ | Habe ich nur die Zähler addiert/subtrahiert (Nenner beibehalten)? |
| ☐ | Habe ich bei Division den Kehrwert genommen? |
| ☐ | Habe ich am Ende gekürzt? |
| ☐ | Habe ich unechte Brüche in gemischte Zahlen umgewandelt? |
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